קורס מתמטיקה ד – גיאומטריה מתקדמת – חלק א – מילון מושגים
הערה: המושגים והתכונות מסודרים על פי סדר הופעתם בסרטוני הלימוד.
מרובע
הגדרת המרובע
- מרובע הוא מצולע בעל 4 קודקודים ו- 4 צלעות.
- במרובע ישנם שני אלכסונים.
תכונות המרובע
- הסכום של כל הזוויות במרובע הוא 360°.
דלתון:
תכונות הדלתון
- דלתון הוא מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.
- בדלתון זוויות הבסיס שוות זו לזו..
- בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה.
- בדלתון האלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני.
- בדלתון האלכסון הראשי חוצה את 2 זוויות הראש.
טרפז:
תכונות הטרפז
- טרפז הוא מרובע שבו זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות.
- בטרפז, סכום כל זוג זוויות הסמוכות לאותה השוק, הוא 180°:
180° = B +
C = 180° ,A + D
טרפז ישר זווית
- טרפז שבו זוג אחד של זוויות סמוכות לאותה השוק השווה ל- 90°
טרפז שווה שוקיים
- טרפז שבו שתי השוקיים שוות זו לזו.
AD = BC - בטרפז שווה שוקיים, כל זוג זוויות הסמוכות לאותו בסיס, שוות זו לזו.
C =D ,A = B
- האלכסונים שווים זה לזה.
AC = BD
- האלכסונים חותכים זה את זה, כך ששני החלקים העליונים שווים זה לזה, ושני החלקים התחתונים שווים זה לזה.
ED = EC, AE = BE
מקבילית
תכונות המקבילית
- מקבילית היא מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות שוות זו לזו.
AD || BC, AB || DC
- במקבילית, הצלעות הנגדיות שוות זו לזו.
AD = BC, AB = DC
- במקבילית, הזוויות הנגדיות שוות זו לזו:
B =D ,A = C
- במקבילית, הסכום של כל זוג זוויות סמוכות, הוא 180°.
לדוגמה: 180° = A +B = 180° ,A + D
- במקבילית, האלכסונים חוצים זה את זה.
BE = ED, AE = EC
- במקבילית, האלכסונים חוצים זה את זה.
- במקבילית, הסכום של כל זוג זוויות סמוכות, הוא 180°.
מלבן:
תכונות המלבן
- מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות שוות ל- 90°.
90° = A =B ,C = D
- במלבן, הצלעות הנגדיות מקבילות זו לזו.
AD || BC, AB || DC
- במלבן, הצלעות הנגדיות שוות זו לזו.
AD = BC, AB = DC
- במלבן, האלכסונים שווים זה לזה.
AC = BD
- במלבן, האלכסונים חוצים זה את זה (ונוצרים ארבעה חלקים שווים)
AE = BE = CE = DE
מעוין:
תכונות המעוין
- מעוין הוא מרובע שבו כל הצלעות שוות זו לזו.
AB = BC = CD = AD
- במעוין, הצלעות הנגדיות מקבילות זו לזו.
AD || BC, AB || DC
- במעוין, הזוויות הנגדיות שוות זו לזו.
B =
D ,A = C
- במעוין, הסכום של כל זוג זוויות סמוכות, הוא 180°.
לדוגמה: 180° = A +B = 180° ,A = D
- במעוין, האלכסונים חוצים זה את זה.
BE = ED, AE = EC
- במעוין, האלכסונים מאונכים זה לזה.
AC
BD
- במעוין, האלכסונים חוצים את הזוויות (כך שהחצאים של הזוויות הנגדיות שווים).
BAE =DAE = DCE = DCE, ABE = CBE= ADE= CDE
ריבוע:
תכונות הריבוע
- ריבוע, הוא מרובע שבו כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות ל- 90°.
,AB = BC = CD = AD
90° = A =B,C= D
- בריבוע, הצלעות הנגדיות מקבילות זו לזו.
AD || BC, AB|| DC
- בריבוע, האלכסונים שווים זה לזה.
AC = BD
- בריבוע, האלכסונים חוצים זה את זה (ונוצרים ארבעה חלקים שווים)
AE = BE = CE = DE
- בריבוע, האלכסונים מאונכים זה לזה.
ACBD
- במעוין, האלכסונים חוצים את הזוויות (כך שהחצאים של הזוויות הנגדיות שווים).
- 45° = ABE = CBE = ADE = CDE = BAE = DAE = DCE= BCE
מושגים במעגל:
- מעגל הוא אוסף של נקודות, הנמצאות במרחק שווה מנקודה אחת קבועה.
– הנקודה הקבועה נקראת ‘מרכז המעגל’.
– המרחק הקבוע נקרא ‘רדיוס’. - רדיוס (או בעברית, ‘מחוג’) הוא הקו המחבר בין מרכז המעגל לנקודה כלשהי על המעגל.
כל הרדיוסים במעגל שווים זה לזה.
- מיתר הוא קו ישר המחבר שתי נקודות על המעגל.
- קוטר הוא מיתר, העובר דרך מרכז המעגל.
הקוטר שווה באורכו לשני רדיוסים. - קשת היא מקטע מהמעגל, המחבר שתי נקודות על המעגל.
קשת נמדדת כמו זווית, במעלות.
- זווית מרכזית היא זווית שהקודקוד שלה, נמצא במרכז המעגל והשוקיים שלה, נוגעים במעגל.
- גזרה היא השטח בתוך המעגל, הנוצר בין שני רדיוסים.
- זווית היקפית היא זווית שהקודקוד שלה על המעגל ושתי השוקיים שלה, נוגעות במעגל.
- משיק שהוא קו ישר, הנוגע במעגל בנקודה אחת.
הנקודה הזו נקראת ‘נקודת ההשקה’.
- משיק שהוא קו ישר, הנוגע במעגל בנקודה אחת.
זווית מרכזית, קשת ומיתר:
- כל זווית המרכזית במעגל ‘נשענת’ על קשת ועל מיתר המתאימים לה.
- הקשת שווה לזווית המרכזית הנשענת עליה.
- כאשר שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו, אז גם הקשתות והמיתרים עליהם היא נשענת, שווים זה לזה.
- כל זווית המרכזית במעגל ‘נשענת’ על קשת ועל מיתר המתאימים לה.
רדיוס ומיתר
רדיוס ומיתר:
- כאשר רדיוס מאונך למיתר, הוא חוצה את המיתר, את הקשת ואת הזווית המרכזת הנשענות על המיתר.
- כאשר רדיוס חוצה מיתר, הוא מאונך למיתר וחוצה את הקשת ואת הזווית המרכזית הנשענות על המיתר.
זווית היקפית וזווית מרכזית
- זווית מרכזית, גדולה פי 2 מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה הקשת.
ניתן גם לומר, שהזווית ההיקפית, שווה לחצי מהזווית המרכזית, הנשענת על אותה הקשת.
זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת:
- כאשר שתי זוויות היקפיות, נשענות על אותה הקשת, הן שוות זו לזו.
זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות:
- כאשר שתי זוויות היקפיות, נשענות על קשתות שוות, הן שוות זו לזו.
זוויות היקפיות הנשענת על הקוטר:
- זווית היקפית הנשענת על קוטר, שווה ל- 90°.
- אם זווית היקפית שווה ל- 90°, אז היא נשענת על קוטר.
רדיוס ומשיק
- כאשר רדיוס פוגש משיק בנקודת ההשקה, הוא מאונך אליו.
- כאשר רדיוס פוגש משיק בנקודת ההשקה, הוא מאונך אליו.
שני משיקים למעגל:
- כאשר שני משיקים למעגל, יוצאים מאותה נקודה, הם שווים זה לזה.
- הקו המחבר את נקודת המפגש של המשיקים עם הרדיוס:
– חוצה את הזווית שבין שני המשיקים.
– חוצה את הקשת שבין שתי נקודות ההשקה.
– חוצה את המיתר שבין שתי נקודות ההשקה.
BD = CD
– מאונך למיתר שבין שתי נקודות ההשקה.
BDCD
- כאשר שני משיקים למעגל, יוצאים מאותה נקודה, הם שווים זה לזה.
זווית בין משיק ומיתר:
- הזווית שבין משיק ומיתר, שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר.
מעגל החוסם משולש:
- כאשר מעגל חוסם משולש, הוא עובר דרך כל שלושת קודקודי המשולש.
- לכל משולש, ניתן לצייר מעגל החסום אותו.
- כאשר מעגל חוסם משולש, מרכז המעגל נמצא במרחק שווה מכל קודקודי המשולש.
OA = OB = OC
- המרכז של מעגל החוסם משולש, נמצא בנקודת מפגש האנכים האמצעיים של המשולש.
הערה: כדי לקבוע שנקודה היא נקודת מפגש האנכים האמצעיים, מספיק שיהיו רק שני אנכים אמצעיים.
מעגל החוסם מרובע:
- כאשר מעגל חוסם מרובע, הוא עובר דרך כל אחד מארבעת קודקודי המרובע.
- לא לכל מרובע, ניתן ציר מעגל החוסם אותו.
- כאשר מעגל חוסם מרובע, סכום כל זוג זוויות נגדיות במרובע, שווה ל- 180°.
מעגל החסום במשולש:
- כאשר מעגל חסום במשולש, הוא משיק לכל אחד משלושת הצלעות של המשולש.
- לכל משולש, ניתן לצייר מעגל החסום בתוכו.
- מרכז מעגל החסום במשולש, נמצא בנקודת מפגש חוצי-הזווית של המשולש.
מעגל החסום במרובע:
- כאשר מעגל חסום במרובע, הוא משיק לכל אחד מארבעת הצלעות של המרובע.
- לא לכל מרובע, ניתן לצייר מעגל החסום בו.
- כאשר מעגל חסום במרובע, סכום זוג אחד של צלעות נגדיות במרובע, יהיה שווה לסכום של זוג הצלעות הנגדיות השני.
AD + BC = AB + DC
מעגל חוסם וחסום במצולע משוכלל:
- כאשר מעגל חוסם מצולע משוכלל, הוא עובר דרך כל אחד מקודקודי המצולע המשוכלל.
- כאשר מעגל חסום במצולע משוכלל, הוא משיק לכל אחד מצלעות המצולע המשוכלל.
- כאשר למצולע משוכלל, שינו גם מעגל החוסם אותו וגם מעגל החסום בו, נקודת המרכז של שני המעגלים היא משותפת.
הנקודה הזו, נקראת גם נקודת המרכז של המצולע המשוכלל.
- כל הקווים, היוצאים ממרכז המצולע המשוכלל ומגיעים לקודקודי המצולע המשוכלל, הם הרדיוסים של המשולש החוסם, ולכן הם שווים זה לזה.
AO = BO = CO = DO = EO
- כל הקווים, ממרכז המצולע המשוכלל ומגיעים לאמצעי הצלעות של המשולש המשוכלל, הם הרדיוסים של המעגל החסום, ולכן הם שווים זה לזה.
PO = QO = RO = SO = TO
הם גם מאונכים לצלעות המצולע המשוכלל.
OPAB, OQBC, ORDC, OSDE, OTAE 
שני מעגלים – מושגים:
- מעגלים זרים – שני מעגלים, שאין ביניהם כלל, נקודות חיתוך.
– מעגלים זרים מבחוץ:
-מעגלים זרים מבפנים:
- מעגלים משיקים – שני מעגלים שיש להם נקודת השקה.
– מעגלים משיקים מבחוץ:
– מעגלים משיקים מבפנים:
- מעגלים נחתכים – שני מעגלים שיש להם שתי נקודות חיתוך.
- מעגלים מרכזיים – שני מעגלים שיש להם מרכז משותף.
- מיתר משותף – מיתר המחבר את שתי נקודות החיתוך של שני מעגלים נחתכים.
- משיק משותף – משיק לשני מעגלים משיקים, בנקודת ההשקה שלהם.
– משיק משותף למעגלים המשיקים מבחוץ:
– משיק משותף למעגלים המשיקים מבפנים:
- קטע מרכזים – קו המחבר את מרכזי המעגלים של שני מעגלים.
– קטע מרכזים במעגלים זרים:
– קטע מרכזים במעגלים משיקים:
– קטע מרכזים במעגלים נחתכים:
שני מעגלים – תכונות:
- קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
ABCD, CE = DE
- קטע המרכזים של שני מעגלים משיקים, מאונך למשיק המשותף.
ABDE
כאשר המעגלים משיקים מבפנים, ההמשך של הקטע המרכזים, פוגש את המשיק המשותף בנקודת ההשקה, ומאונך למשיק המשותף.
