ריכוז משפטים ותכונות בגיאומטריה - קורס מתמטיקה ג'
המילון מרכז בתוכו את כל המושגים, המשפטים והתכונות שנלמדו במהלך הקורס והוא מסודר לפי הא-ב
תוכן עניינים
ז
אי-שוויונות במשולש
- בכל משולש:
– מול הצלע הגדולה ביותר נמצאת הזווית הגדולה ביותר.
– מול הצלע הקטנה ביותר נמצאת הזווית הקטנה ביותר.
ולהיפך
– מול הזווית הגדולה ביותר נמצאת הצלע הגדולה ביותר.
– מול הזווית הקטנה ביותר נמצאת הצלע הקטנה ביותר.
- במשולש ישר-זווית – הזווית הישרה היא בהכרח הכי גדולה ולכן היתר הוא בהכרח הצלע הכי גדולה.
- במשולש קהה-זווית – הזווית הקהה היא בהכרח הכי גדולה ולכן הצלע שממולה היא בהכרח הצלע הכי גדולה.
זוויות - שיום (מתן שם)
- לזווית הבאה ניתן לקרוא בשני שמות:
זווית ABC או זווית CAB
זווית עגולה - שווה ל- 360°
- גודל הזווית המרכזית במצולע משוכלל הוא 360 לחלק למספר הצלעות.
זווית חיצונית במשולש
- זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות שאינן צמודות לה.
דוגמא בשרטוט הבא:
י
ישרים ואורכים - המרת יחידות
- המרת קילומטרים למטרים:
קילומטר = 1000 מטרים
– כדי להמיר קילומטרים למטרים, יש לכפול ב- 1000.
– כדי להמיר מטרים לקילומטרים, יש לחלק ב- 1000 - המרת מטרים לסנטימטרים:
1 מטר = 100 סנטימטרים
– כדי להמיר מטרים לסנטימטרים, יש לכפול ב- 100.
– כדי להמיר סנטימטרים למטרים, יש לחלק ב- 100.
ישרים נחתכים
ישרים מקבילים
מ
מושגים כלליים
- קודקודים סמוכים – שני קודקודים שיש צלע המחברת ביניהם.
- קודקודים נגדיים – שני קודקודים שאין אף צלע המחברת ביניהם.
- צלעות סמוכות – שתי צלעות שיש להן קודקוד משותף.
- צלעות נגדיות – שתי צלעות שאין להן אף קודקוד משותף.
- אלכסון – קו ישר המחבר בין שני קודקודים נגדיים.
- זווית היקפית – זווית הנמצאת בין שתי צלעות במצולע.
- זוויות סמוכות – שתי זוויות הנמצאות משני צידי אותה הצלע.
- זוויות נגדיות – שתי זוויות שאינן נמצאות משני צידי אותה הצלע.
- זווית מרכזית – זווית שנוצרת בין שני אלכסונים.
מצולעים
סוגי מצולעים:
מצולעים משוכללים
- במצולע משוכלל כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות.
- משולש משוכלל נקרא ‘משולש שווה-צלעות’.
- מרובע משוכלל נקרא ‘ריבוע’.
משולש - תכונות
- במשולש יש 3 קודקודים ו- 3 צלעות.
- סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
משולש - סוגי משולשים
משולש ישר-זווית
- שמות הצלעות במשולש ישר-זווית
משולש ישר-זווית - משפט פיתגורס
- במשולש ישר-זווית – הסכום של ניצב א’ בריבוע ועוד ניצב ב’ בריבוע, יהיה שווה ליתר בריבוע.
דוגמה: אם ABC הוא משולש יש-זווית שבו הזווית B היא זווית ישרה, אז:
משולש ישר זווית - התיכון ליתר
- במשולש ישר-זווית, התיכון ליתר שווה לחצי מהיתר.
דוגמה: אם ABC הוא משולש ישר-זווית, שבו הזווית הישרה היא B, אז: 
- וכתוצאה מכך: BD=AD=DC
משולש זהב
- במשולש ישר-זווית שבו שתי הזוויות החדות שוות ל- 30° ו- 60°:
– היתר גדול פי 2 מהניצב הקטן, שמול הזווית 30°.
– הניצב הגדול, שמול הזווית 60°, גדול פי
מהניצב הקטן, שמול הזווית 30°.
דוגמה: אם המשולש ABC הוא ‘משולש זהב’, אז:
- היתר AC גדול פי 2 מהניצב BC.
- הניצב AB גדול פי מהניצב BC.
משולש כסף
- משולש ‘כסף’ הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.
– קודקוד הראש הוא תמיד הזווית הישרה.
– שתי זוויות הבסיס שוות ל- 45°.
– השוקיים של המשולש הם תמיד הניצבים והבסיס הוא היתר. - במשולש ‘כסף’, היתר גדול פי
משני הניצבים.
דוגמה: אם ABC הוא משולש ‘כסף’, שבו B הוא הזווית הישרה (ולכן גם קודקוד הראש), אז AC גדול פי מהניצבים AB ו- BC
משולש שווה-שוקיים
- שמות הקודקודים, הזוויות והצלעות, במשולש שווה-שוקיים:
משולש שווה-שוקיים - תכונות
- במשולש שווה-שוקיים, השוקיים שוות זו לזו.
- במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות זו לזו.
משולש שווה-שוקיים - התלכדות הגובה, התיכון וחוצה-הזווית
- במשולש שווה-שוקיים, הגובה, התיכון וחוצה-הזווית היוצאים מקודקוד הראש מתלכדים לכדי קו אחד.
דוגמה: אם ABC הוא משולש שווה-שוקיים שבו A הוא קודקוד הראש, אז AD הוא גם גובה, גם תיכון וגם חוצה-זווית (וכתוצאה מכך, גם אנך-אמצעי).
משולש שווה-צלעות
- במשולש שווה-צלעות, כל הצלעות שוות זו לזו.
- במשולש שווה-צלעות, כל הזוויות שוות זו לזו ושוות ל- 60°.
- במשולש שווה-צלעות, הגובה, התיכון וחוצה-הזווית היוצאים מכל אחד מהקודקודים, מתלכדים זה עם זה.
ק
קווים מיוחדים במשולש
קווים מיוחדים במשולש - מפגשי קווים מיוחדים
- בכל משולש ניתן להעביר 3 גבהים, 3 תיכונים, 3 חוצי זווית ו- 3 אנכים אמצעיים.
- כל הגבהים במשולש נפגשים באותה נקודה.
- כל התיכונים במשולש נפגשים באותה נקודה.
- כל חוצי-הזווית במשולש נפגשים באותה נקודה.
- כל האנכים-האמצעיים במשולש נפגשים באותה נקודה.
קווים מיוחדים במשולש - נקודת מפגש תיכונים
- נקודת מפגש תיכונים מחלקת כל תיכון בצורה כזו, שהחלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהחלק שקרוב לצלע.
דוגמה: אם G היא נקודת מפגש התיכונים, אז:
– AG גדול פי 2 מ- GF.
– BG גדול פי 2 מ- GD.
– CG גדול פי 2 מ- GE.
קטע אמצעים במשולש
- קטע-אמצעים במשולש מחבר בין נקודות האמצע של שתי צלעות במשולש.
- קטע-אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית, אותה הוא אינו חותך.
- קטע- אמצעים במשולש שווה לחצי מהצלע השלישית, אותה הוא אינו חותך.
דוגמה: אם DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC, אז:
– AD=DB ו- AE=EC
– DE||BC–
